Задания (версия для печати) сборной России   сборной Украины

ЗАДАНИЯ СБОРНОЙ РОССИИ

1. Монеты У вас имеется N монет, одна из которых фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих (больше или меньше - неизвестно), и весы, абсолютно точно показывающие вес всех положенных на них монет. У вас в распоряжении пять взвешиваний. Для какого максимального N вы сможете обнаружить фальшивую монету и узнать ее вес? Например, если N=12, можно тремя взвешиваниями взвесить 3 кучки по 4 монеты. Фальшивая - в той кучке, которая отличается по весу от двух других. Ее несложно найти за оставшиеся два взвешивания.
2. Развертки кубиков Перед вами - полный набор разверток кубика. Отраженные развертки считаются различными. Из этих 20 элементов составьте фигуру с пустотой внутри. Пустота не может даже углом касаться внешней части плоскости, то есть она полностью ограничена элементами. Элементы можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Придумайте фигуру, у которой наибольшая длина границы пустоты.
Пример: периметр пустоты - 116.
3. Макси-судоку Предложите стандартную головоломку судоку с максимальным числом задающих цифр. При этом каждая цифра должна быть нужной - без нее решение становится не единственным.
	Пример: Судоку с 30 задающими цифрами. При этом 6 в желтой клетке - ненужная, решение единственно и без нее.
4. Месяцы. Названия месяцев записаны на полосках. Расположите полоски в прямоугольной сетке минимальной площади, чтобы они не касались даже углом. При этом в каждой строке и каждом столбике сетки все буквы должны быть различны. А. Каждая полоска - прямая, и слово читается сверху вниз или слева направо. Б. Каждая полоска может как угодно извиваться и поворачивать, но не может касаться сама себя. Побеждает команда, у которой сумма площадей двух сеток меньше. Пример: а. 17х17 б. 12х14. Сумма площадей равна 457.

ЗАДАНИЯ СБОРНОЙ УКРАИНЫ

1. Путь коня (Артем Щербина) На представленном поле необходимо построить самый длинный путь шахматного коня. При этом путь не может проходить дважды через одну и ту же клетку и пересекать сам себя. На белых клетках конь останавливаться не может. При равенстве ходов, преимущество отдается команде, у которой расстояние между началом пути и его окончанием будет меньшим (в идеале путь может быть замкнутым).
На примере показан возможный путь в задаче, в которой ходить по белым клеткам тоже запрещено.
2. Цветная карта (Артем Щербина) На диаграмме 12х12 необходимо построить как можно больше областей разного цвета. Каждая область - связное множество единичных квадратиков, соединенных сторонами. Каждая область должна касаться всех других областей стороной хотя бы одного своего квадратика. Разрешено устанавливать переходы - клетки, позволяющие связывать две разноцветные области, если их клетки расположены перпендикулярно в форме креста. Переход, в таком случае принадлежит обеим областям сразу, но в клетке перехода области не касаются друг друга. Переходы не могут касаться друг друга даже углами. Оценка: побеждает команда, которой удастся разместить больше разноцветных областей. При равенстве этого параметра, побеждает команда, которая использует меньше переходов. Если и этот параметр одинаков, то побеждает команда, использовавшая минимум единичных квадратиков во всех областях (не раскрашенные квадратики не входят ни в одну область).
	На примере показано размещение на диаграмме 7х7 семи областей (желтая, зеленая, голубая, розовая, красная, синяя, грязная), 4-х переходов и 45-ти использованных квадратиков.
3. Столицы мира (Сергей Лукьянец) В сетку напоминающую цифру 10 (номер матча) общей площадью 206 клеток (число чем-то похожее на 2006), необходимо вписать как можно больше столиц государств по правилам составления кроссвордов. Столицы, пишущиеся из двух слов, в кроссворд вписываются как одно (напр., НЬЮЙОРК). Источником названий столиц принимается страницу сайта http://whp057.narod.ru/spisok.htm На данный момент там указано 196 стран плюс 38 владения. Столицы можно брать любые из этих 196+38 стран и владений. Оценка: Оц = Кс+Кб, где Кс - количество столиц, Кб - количество букв в сетке. Побеждает команда, у которой Оц выше.
4. Фигуры из тримино (Михаил Хотинер) Имеется набор из 20-ти тримино - треугольников с различной раскраской сторон в 4 краски (см. рис.). Необходимо составить как можно больше разных плоских симметричных фигур, придерживаясь следующих правил: а) фигура должна состоять из всех 20 тримино; б) фигура должна быть связанной: из любого тримино можно добраться до любого другого, переходя через касающиеся друг друга стороны тримино; в) тримино могут касаться других тримино либо в вершинах, либо по всей длине совпадающих по цвету сторон. г) каждое тримино должно касаться сторонами сторон как минимум двух других тримино; д) тримино можно зеркально отражать и вращать на угол, кратный 60 ; е) фигуры, контуры которых совпадают при повороте на угол кратный 60 или 90 , считаются одинаковыми; При равенстве количества фигур у команд, фигура, в которой хотя бы один цвет будет симметричным относительно выбранной оси, будет считаться за две.
	Пример 1. Правильная фигура, но без симметрии цвета (эта фигура считается уже собранной).