О клубе Новости Конкурсы Тренажеры Форум Ссылки Рейтинг Клуб ценителей головоломок 'Диоген' Клуб ценителей головоломок 'Диоген' Rambler's Top100 Клуб ценителей головоломок 'Диоген'
 
 Задания   Решения

Шестой Заочный матч Россия-Украина
по решению головоломок
имени Андрея Ходулева

В очередной раз проводится матч между головолмщиами России и Украниы. На этот раз каждая команда представила по пять задач. В этом году проводится также дополнительный индивидуальный зачет среди решателей. Лучшие решения каждой из команд будут учтены в командном зачете.
Украинские решатели присылают решения Михаилу Хотинеру
Российские - Владимиру Рыбинскому
Ответы ожидаются до 5 декабря 2002 года.

Задания (версия для печати) сборной России сборной Украины

ЗАДАНИЯ СБОРНОЙ РОССИИ
1. Две башни.

Из полного комплекта элементов Пентамино соберите как можно больше пар одинаковых симметричных башен (можно с пустотами), имеющих единственное решение. Например, пара башен на рисунке не засчитывается, т.к. правую можно сложить и иначе. 		Иллюстрация к заданию 1
2. Тропинка на уголках

Имеется исчерпывающий набор из 16 уголков (каждый уголок состоит из 3 квадратиков) с нанесенной на них двусторонней (уголки можно переворачивать) тропинкой (см. рис.). Из данного комплекта удается выбрать 6 и 8 уголков и составить из них прямоугольники размером 3*6 и 4*6 с непрерывной тропинкой, начинаю-щейся и заканчивающейся на периметре прямоугольника.
Какие еще различные по размерам прямоугольники с непрерывной тропинкой вам удастся собрать, если для каждого из них необходимо использовать не менее 10 уголков?
Оценка: 1 балл за каждый новый прямоугольник, плюс еще 1 балл, если тропинка на нем замкнутая.



Иллюстрация к заданию 2


Иллюстрация к заданию 2

3. Слово на кубике Рубика

На гранях кубика Рубика удается точно выложить буквы Н,О,П,С,Т,Х,Ч (см. рис.). Выложите некоторые из них на гранях кбика Рубика так, чтобы можно было прочитать слово (имя сущ. в ед. числе) начиная с выбранной грани и последующим перекатыванием кубика в любую сторону (кроме обратной) через ребро. При этом некоторые буквы можно читать несколько раз, а буква С может переходить в букву П и обратно.
Оценка: Частное от деления квадрата числа букв в слове на количество ходов (ход - любой поворот любого слоя, включая средний) для достижени требуемой позиции на кубе.
Иллюстрация к заданию 3
4. Число Ц5

Используя каждую из цифр от 0 до 9 по одному разу, знаки четырех арифметических действий и скобки, выразите возможно более точно Ц5 = 2.23606 79774 99789…

5. Окружность-2002

На миллиметровке построена окружность радиусом 25 мм и центром в точке пересечени линий. Эта окружность проходит через 20 точек (например: 25,0: 24,7: 20,15:…). Найдите наименьший целочисленный радиус (в мм) окружности с центром в точке пересечения линий, чтобы она проходила не менее чем через 2002 точек.


ЗАДАНИЯ СБОРНОЙ УКРАИНЫ

1. Два многогранника

Постройте два выпуклых многогранника с разным числом вершин, соблюдая следующие правила:
а) гранями могут быть только треугольники и пятиугольники, причем пятиугольники должны присутствовать в каждом из многогранников (грани не обязательно правильные);
б) В каждой вершине многогранников должно сходиться ровно 4 ребра.
Пример: Граф семигранника на рисунке не отвечает условиям, так как в вершинах А и В не сходятся по 4 ребра.
Побеждает команда, у которой меньше общая сумма вершин обоих многогранников (либо одного, если обе команды не найдут второго). 		Иллюстрация к заданию 1

2. Коэффициент полезности

Коэффициентом полезности слова назовем отношение количества слов, образованных путем вычеркивания букв из исходного слова, к количеству букв исходного слова.
Все слова должны быть существительными и набраны в СССРЛ (в 2 т. - М.: Рус. язык., 1991) полужирным шрифтом.
Пример. Исходное слово РОТАН (5 букв). Из него можно получить 6 слов: РОТА, РОТ, РО, РА, ОН, АН. Коэффициент полезности слова РОТАН равен 6/5=1,2.
Найти слово с как можно большим коэффициентом полезности.
3. Пентамино-сито

Из 12 стандартных пентамино построить фигуру с наибольшим количеством дыр в ней. Касание угловой точкой разбивает дыру в месте касания.
Пример. Фигура состоит из 11 отмеченных точками дыр. 		Иллюстрация к заданию 3
4. Рекогносцировка

На доске 8х3 (см. рис.3.1) находятся 16 фигур белого и черного цвета.
Необходимо получить, за как можно меньшее число ходов, положение, представленное на рис.3.2.
Все фигуры ходят как в обычных шахматах.
Последовательность ходов не принципиальна.
Каждый ход, оканчивающийся на 3-ей горизонтали, считается за 5 ходов.
Пример: 1-5. Кg1-f3. 6. Сf2-g1. 7. Kpe2-f2. 8.Фd2-e2. 9.Kf3-d2, … 		Иллюстрация к заданию 4
5. 2002 чет-нечет

Из ряда цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,… образуем два ряда - четный и нечетный:
а) 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 1, …
б) 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, …
Используя четыре математических действия (+, -, *, /), любое количество скобок и не меняя порядок цифр в рядах а), б), необходимо получить число 2002.
Порядок действий, расстановка скобок и сочетания (несколько цифр, составляющих число) в обоих рядах должны быть идентичны.
Побеждает команда, которая использовала в левой части равенства меньшее количество всех знаков.
Пример
а) (1357-9+1-357+9)*(-1+3) = 2002
б) (2468-0+2-468+0)*(-2+4) = 4004
решением не является, т.к. в равенстве б) не получилось 2002.
Количество знаков в равенстве: 12 (цифр) + 4 (скобки) + 1 (знак "*") + 3 (знака "+") + 3 (знака "-") = 23.

Итоги шестого матча России-Украина 2002 года.



РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ СБОРНОЙ РОССИИ

1. Две башни:
Найдено 14 пар вертикально-симметричных башен
Иллюстрация к заданию 1
и 16 пар диагонально-симметричных, всего 30 пар:
Иллюстрация к заданию 1
К решению этой задачи россияне подошли более серьезно и, как закономерный результат - победа россиян.

2. Тропинка на уголках.
Всего удается набрать 22 балла в 13 прямоугольниках: 2*15(1), 2*18(1), 3*10(2), 3*12(2), 3*14(1), 3*16(1), 4*9(2), 4*12(2), 5*6(2), 5*9(2), 6*6(2), 6*7(2), 6*8(2):
Иллюстрация к заданию 2
Кроме того, удалось составить квадрат 7*7 с дыркой в центре (идея Г.Яркового), но это уже сверх зачета.
Как ни странно, эту достаточно сложную задачу (с российской стороны отличились Г.Ярковой и М.Кузнецов, с украинской - В.Мандрыка, А.Савич и Ю.Зелинский) в равной степени решили обе стороны - ничья.

3. Слово на кубике Рубика:
А.Олешов: алгоритм СФ СН СТ Н С2Ф В2 С2Ф В дает слово СОСО = ОСОС. 4 буквы за 8 ходов = оценка 2.
Г.Ярковой: алгоритм В2 С/П С2Ф СП В С/Ф В2 СФ В/ дает слово ПОНСО. 5 букв за 9 ходов = оценка 25/9 = 2.777…
Было и несколько иных вариантов. Украинцы здесь подошли прагматичнее: в результате лучшим оказался вариант, который предложил Л.Оридорога: алгоритм Сф С2в Сф - ОНО (по СССРЛ это может быть существительным!) с оценкой 9/3 = 3.
Победа украинцев.

4. Число Ц5. Ц5 = 2.236067977499789…
Самое простое решение 82095/36714 = 2.2360679849649… дает погрешность +7.465073843*10-9.
Однако решение И.Драгуновой (90*68-1)*2/5473, и решение К.Кнопа 2+0+19*68/5473 = 2.2360679700347… дают несколько меньшую погрешность - -7.465073818…*10-9.
Лучшее решение у М.Кузнецова: 20 : 9 + (7 - 5 :16) : 483 = 2,236067977915804... Точность - 4.1472958*10-10.
У украинцев такого же результата достиг Л. Оридорога: ((13/46+5/7)/8+20)/9 = 2,2360679779158.
Остальные результаты:
9/4-1/(72-68/305) = 2,2360679700347 Бурик
2+0+19*68/5473 = 2,2360679700347 Денисенко
82095/36714 = 2,2360679849648 Бойко
(461-0.37)/((98+5)*2) = 2,2360679611650 Подшивалов
(6453+7)/(2890-1) = 2,2360678435444 Антонович
Трудно согласиться с вариантом 5^(1/2)+0х346789 = sqrt(5), т.к. он требует функции возведения в степень.
Итог - ничья.

5. Окружность-2002:
R=29641625мм = 29641 м
Исследована В.Кабановичем, Г.Ярковым, А.Никоновым, В.Дорофеевым, В.Копыловым и др. Проходит через 2268 точек, т.е. через 284 точки в секторе 0-45 градусов:
К такому же выводу пришли Л.Оридорога, А.Казмерчук, А.Тетерко и А.Притиск.
Закономерная ничья.

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ КОМАНДЫ УКРАИНЫ

1: Два многогранника:
Сразу были предложены "средний слой" икосаэдра и усеченный по серединам сторон додекаэдр, имеющие 10 и 30 вершин (см. рисунок) соответственно.
Иллюстрация к заданию 1
Затем Г.Ярковой предложил октаэдр с 4-мя срезанными по экватору вершинами, достроенными до пирамидок, дающий 24-гранник с 22 вершинами и имеющий 8 пятиугольников и 16 треугольников.
Далее исследованиями К.Кнопа установлено, что если Т - к-во треугольников, П - к-во пятиугольников, то имеем формулу: Т=П+8. А число вершин В=2*П+6. Было доказано, что не может быть многогранника с одним пятиугольником.
Потом поступило сообщение о решение И.Грищенко с 6-ю пятиугольниками, а точку поставило решение Олега Милюкова с 4-мя пятиугольниками, 16 гранями и 14 вершинами (рис. слева). Ответ: 10 и 14 = 24.
Иллюстрация к заданию 1
Решатели Украины достигли только результата 28=10+18 (на рис. справа только половина конструкции). В этом задании победа россиян.

2: Коэффициент полезности:
Победа россиян с примерами:
М.Кузнецов: ТРИФТОРМЕТАНСУЛЬФОКИСЛОТА К=491/25=19.64 Добавление букв аеклмнорстуф, которые СССРЛ счит существительными, дает к=20.12. Аббревиатуры и имена собственные дают к=21.92.
ПНЕВМОТРАНСПОРТИРОВКА к=20.571
К.Кноп: СТЕРЕОПЛАСТИНКА к=15.8
И.Грищенко: ЭЛЕКТРОДИАГНОСТИКА к=15.722
А.Богданов: ПОЛИТПРОСВЕТРАБОТНИК к=15.3.

3: Пентамино-сито:
Мы увлеклись поиском более компактного решения: с 18 пустотами (прямоугольник 8*12 И.Драгуновой). У Г.Яркового и у меня 18 пустот только на поле 9*11.
А в это время Ю.Зелинский заметил, что формулировка задания допускает и косоугольные решения. В результате он нашел расклад с 22 дырками . Победа украинцев.
Иллюстрация к заданию 3
4: Рекогносцировка:
Сначала было решение Г.Яркового за 72 хода (с нереализованной идеей рокировки), потом 71 ход у И.Грищенко, 70 ходов у И.Драгуновой и, наконец 69 ходов опять у Г.Яркового (с рокировкой!).
Однако сразу два соперника нашли решения в 68 ходов (С.Лукьянец и Л.Оридорога). Вот решение последнего:
1- 5.Kb1-a3 6-10.Kg1-h3 11-15.Cc2-d3 16.Фd2-c2 17-21.Cc1-e3 22.Фd1-c1 23.Kb2-d1 24.Лa1-b1 25.Лa2-a1 26.Лb1-b2 27.Лb2-a2 28-32.Kd1-c3 33.Фc2-b1 34.Kpe2-d2 35.Cf1-e2 36.Kpe1-f1 37.Kg2-e1 38.Лh1-g1 39.Лh2-h1 40.Лg1-g2 41.Лg2-h2 42-46.Ke1-f3 47.Kf3-g1 48.Ka3-c2 49.Kc2-e1 50.Ke1-g2 51.Ce2-d1 52.Cd1-c2 53.Cf2-e1 54.Kh3-f2 55.Kf2-d1 56.Kd1-b2 57.Kpd2-e2 58.Ce1-d2 59.Фc1-e1 60.Фb1-d1 61.Kc3-b1 62.Cd2-c1 63.Фe1-d2 64.Kpe2-e1 65.Kpf1-f2 66.Cd3-f1 67.Kpf2-e2 68.Ce3-f2. Победа украинцев.

5: Чет-нечет:
Самое коварное задание. Решение, полученное многими в первую же минуту так и осталось лучшим, а многочисленные попытки его улучшить так ни к чему и не привели - 25 знаков:
(1357 - 9 + 1 - 357 + 9) / 1 * (- 3 + 5) = 2002
(2468 - 0 + 2 - 468 + 0) / 2 * (- 4 + 6) = 2002
С украинской стороны сразу двое решателей нашли решения в 24 знака.
А.Притиск:
(135 - 79135) / 79 * (1 - 3) - 5 + 7 = 2002
(246 - 80246) / 80 * (2 - 4) - 6 + 8 = 2002
Ю.Зелинский:
(13 - 579 + 13579) / 13 * (- 5 + 7) = 2002
(24 - 680 + 24680) / 24 * (- 6 + 8) = 2002
Л.Оридорога предложил решение в 23 знака:
(1 - 3) / 57 * (913 - 57913 - 57) = 2002
(2 - 4) / 68 * (024 - 68024 - 68) = 2002
Однако в последнем случае число 024 выглядит искусственно. Победа украинцев.

Общий счет 5.5/45. в пользу украинцев. От всей души поздравляем их с заслуженной победой!

В. Рыбинский.
О клубе   Новости   Конкурсы   Тренажеры   Форум   Ссылки   Рейтинг